Suites et séries de fonctions — Testez vos connaissances !

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":66572,"question":"Soit une suite de fonctions (fn) convergeant simplement vers f sur un intervalle I. Que peut-on dire de la convergence uniforme ?","option_a":"La convergence uniforme est toujours vérifiée","option_b":"La convergence uniforme nécessite une condition supplémentaire (ex : fn bornées, fn croissantes)","option_c":"La convergence uniforme est impossible","option_d":"La convergence uniforme dépend uniquement de la nature des fn","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La convergence uniforme n'est pas automatique : elle nécessite des hypothèses supplémentaires comme la croissance des fn ou leur bornitude (théorème de Dini).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":66573,"question":"Le critère de Weierstrass s'applique à une série de fonctions Σfn si :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le critère de Weierstrass exige l'existence d'une série numérique convergente Σan telle que |fn(x)| ≤ an pour tout x et tout n.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":66574,"question":"Soit Σfn une série de fonctions convergente uniformément sur I. Si chaque fn est continue sur I, alors la fonction somme S est :","option_a":"Discontinue sur I","option_b":"Continue sur I","option_c":"Dérivable sur I","option_d":"Non définie sur I","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La convergence uniforme préserve la continuité : si chaque fn est continue et que Σfn converge uniformément, alors S est continue.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":66575,"question":"La série entière Σx^n converge uniformément sur l'intervalle [-1\/2, 1\/2]. Quelle est sa somme ?","option_a":"1\/(1-x)","option_b":"1\/(1+x)","option_c":"x\/(1-x)","option_d":"1\/(x-1)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La série géométrique Σx^n converge vers 1\/(1-x) pour |x| \u003C 1. Sur [-1\/2, 1\/2], la convergence est uniforme.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":66576,"question":"Soit (fn) une suite de fonctions dérivables sur I, convergeant simplement vers f. Si la suite (f'n) converge uniformément vers g sur I, alors :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le théorème de dérivation terme à terme exige la convergence uniforme de (f'n) et la convergence simple de (fn) pour conclure que f est dérivable et f' = g.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":66577,"question":"Quel critère permet d'étudier la convergence de Σ(-1)^n \/ (n + x) pour x \u003E 0 ?","option_a":"Critère de Cauchy","option_b":"Critère de Leibniz","option_c":"Critère de d'Alembert","option_d":"Critère de Weierstrass","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La série est alternée et vérifie les hypothèses du critère de Leibniz (termes décroissants en valeur absolue et tendant vers 0).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":66578,"question":"Soit Σfn une série de fonctions convergeant normalement sur I. Que peut-on dire de sa convergence uniforme ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La convergence normale implique la convergence uniforme (car |fn(x)| ≤ an avec Σan convergente).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":66579,"question":"La série Σsin(nx)\/n^2 converge uniformément sur ℝ. Quelle propriété en découle pour la fonction somme S ?","option_a":"S est discontinue","option_b":"S est continue et dérivable","option_c":"S n'est pas définie","option_d":"S est périodique de période π","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La convergence uniforme préserve la continuité, et la dérivabilité s'obtient par dérivation terme à terme (série des dérivées Σcos(nx)\/n converge normalement).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":66580,"question":"Soit (fn) une suite de fonctions croissantes sur I, convergeant simplement vers f continue sur I. Alors :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le théorème de Dini affirme que la convergence est uniforme dans ces conditions (fn croissantes, f continue, convergence simple).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":66581,"question":"Quelle est la limite de la suite de fonctions fn(x) = x^n sur [0, 1] ?","option_a":"0 pour tout x ∈ [0,1[ et 1 en x=1","option_b":"1 pour tout x ∈ [0,1]","option_c":"0 pour tout x ∈ [0,1]","option_d":"La suite ne converge pas","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La suite converge simplement vers f(x) = 0 si x ∈ [0,1[ et f(1) = 1. La convergence n'est pas uniforme sur [0,1].","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]