Séries entières : Convergence, rayon et applications — Quiz interactif pour la Seconde

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":61007,"question":"Quelle est la forme générale d'une série entière centrée en x₀ = 0 ?","option_a":"Σ aₙ xⁿ","option_b":"Σ aₙ (x - x₀)ⁿ","option_c":"Σ n aₙ xⁿ","option_d":"Σ aₙ xⁿ⁺¹","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Une série entière centrée en x₀ = 0 s'écrit Σ aₙ xⁿ, où aₙ sont les coefficients et x la variable.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":61008,"question":"Le critère de d'Alembert pour une série entière Σ aₙ xⁿ permet de déterminer :","option_a":"Le rayon de convergence","option_b":"La somme de la série","option_c":"Le terme général","option_d":"La dérivée de la série","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le critère de d'Alembert (lim |aₙ₊₁ \/ aₙ|) permet de calculer le rayon de convergence R = 1\/lim |aₙ₊₁ \/ aₙ|.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":61009,"question":"Si le rayon de convergence d'une série entière est R = 3, alors la série converge absolument pour tout x tel que :","option_a":"|x| \u003C 3","option_b":"|x| \u003E 3","option_c":"|x| ≤ 3","option_d":"|x| = 3","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Par définition, une série entière converge absolument pour tout x dans l'intervalle ]-R, R[.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":61010,"question":"Vrai ou Faux : Une série entière peut toujours être dérivée terme à terme.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Faux. La dérivée terme à terme est possible uniquement si le rayon de convergence est strictement positif.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":61011,"question":"Quelle fonction est représentée par la série entière Σ xⁿ \/ n! pour tout x ∈ ℝ ?","option_a":"sin(x)","option_b":"cos(x)","option_c":"eˣ","option_d":"ln(1 + x)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"La série entière Σ xⁿ \/ n! converge vers eˣ pour tout x réel, c'est le développement en série de l'exponentielle.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":61012,"question":"Le rayon de convergence de la série entière Σ n² xⁿ est :","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"∞","option_d":"2","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"En appliquant le critère de d'Alembert, lim |(n+1)² \/ n²| = 1, donc R = 1\/1 = 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":61013,"question":"Vrai ou Faux : Si une série entière converge en x = 2, alors elle converge absolument pour tout |x| \u003C 2.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. C'est une propriété fondamentale des séries entières : si elle converge en x = a, elle converge absolument pour tout |x| \u003C |a|.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":61014,"question":"Quelle est la dérivée de la série entière Σ xⁿ \/ n! ?","option_a":"Σ xⁿ⁻¹ \/ (n-1)!","option_b":"Σ xⁿ \/ (n+1)!","option_c":"Σ n xⁿ⁻¹ \/ n!","option_d":"Σ xⁿ \/ n!","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La dérivée terme à terme donne Σ n xⁿ⁻¹ \/ n! = Σ xⁿ⁻¹ \/ (n-1)! = Σ xᵏ \/ k! (en posant k = n-1), qui est la même série que l'exponentielle.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":61015,"question":"Le rayon de convergence de la série entière Σ (-1)ⁿ x²ⁿ \/ n est :","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"∞","option_d":"2","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"En posant y = x², la série devient Σ (-1)ⁿ yⁿ \/ n, dont le rayon de convergence est 1 (critère de d'Alembert). Donc R = 1 pour x.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":61016,"question":"Quelle série entière représente la fonction f(x) = 1 \/ (1 - x) pour |x| \u003C 1 ?","option_a":"Σ xⁿ","option_b":"Σ (-1)ⁿ xⁿ","option_c":"Σ n xⁿ","option_d":"Σ xⁿ⁺¹","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La série géométrique Σ xⁿ converge vers 1 \/ (1 - x) pour |x| \u003C 1, c'est son développement en série entière.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]