Récurrence et Divisibilité : Testez vos connaissances !

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":40896,"question":"Quelle est la première étape d'une démonstration par récurrence ?","option_a":"Vérifier l'hérédité","option_b":"Initialiser la propriété","option_c":"Conclure par récurrence","option_d":"Donner un exemple","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"L'initialisation consiste à vérifier que la propriété est vraie pour le premier terme de la suite ou le premier entier concerné.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":40897,"question":"Si un entier n est divisible par 6, alors il est aussi divisible par 2 et 3.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"C'est vrai car 6 = 2 × 3, et si n est divisible par 6, il est divisible par ses facteurs premiers.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":40898,"question":"Quel théorème permet de résoudre l'équation ax + by = c ?","option_a":"Théorème de Gauss","option_b":"Théorème de Bézout","option_c":"Théorème de Fermat","option_d":"Théorème de Pythagore","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Le théorème de Bézout stipule que l'équation ax + by = c a des solutions entières si et seulement si c est divisible par le PGCD de a et b.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":40899,"question":"Soit la suite définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 1. Quelle est la valeur de u₃ ?","option_a":"7","option_b":"15","option_c":"13","option_d":"9","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Calculons : u₁ = 2×1 + 1 = 3, u₂ = 2×3 + 1 = 7, u₃ = 2×7 + 1 = 15.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":40900,"question":"Si n est un entier impair, alors n² est impair.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"C'est vrai : un nombre impair s'écrit 2k+1, son carré est 4k²+4k+1 = 2(2k²+2k)+1, qui est impair.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":40901,"question":"Quel est le PGCD de 12 et 18 ?","option_a":"3","option_b":"6","option_c":"4","option_d":"9","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ceux de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18. Le plus grand commun est 6.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":40902,"question":"Soit la propriété P(n) : 'n² + n est divisible par 2'. Pour quelle valeur de n cette propriété est-elle vraie ?","option_a":"Pour tout n pair","option_b":"Pour tout n impair","option_c":"Pour tout n entier","option_d":"Pour n = 0 uniquement","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"n² + n = n(n+1). Comme n et n+1 sont consécutifs, l'un est pair. Leur produit est donc toujours divisible par 2.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":40903,"question":"Si a ≡ b [m] et c ≡ d [m], alors a + c ≡ b + d [m].","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"C'est vrai : les congruences sont compatibles avec l'addition. Si a = b + km et c = d + lm, alors a + c = b + d + (k+l)m.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":40904,"question":"Quelle est la solution générale de l'équation 3x ≡ 1 [5] ?","option_a":"x ≡ 1 [5]","option_b":"x ≡ 2 [5]","option_c":"x ≡ 3 [5]","option_d":"x ≡ 4 [5]","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"On cherche x tel que 3x - 1 est divisible par 5. En testant, x = 2 donne 3×2 - 1 = 5, donc x ≡ 2 [5] est une solution. La solution générale est x ≡ 2 [5].","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":40905,"question":"Soit la suite (uₙ) définie par u₀ = 0 et uₙ₊₁ = uₙ + 2n + 1. Quelle est l'expression de uₙ ?","option_a":"uₙ = n²","option_b":"uₙ = 2n + 1","option_c":"uₙ = n(n+1)","option_d":"uₙ = n² + 1","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"En calculant les premiers termes : u₁ = 1, u₂ = 4, u₃ = 9, on remarque que uₙ = n². Une démonstration par récurrence le confirme.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]