Limites, Dérivées et Continuité — Niveau Terminale Math

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":34173,"question":"Quelle est la limite de la fonction f(x) = (x² + 3x - 4)\/(x - 1) lorsque x tend vers 1 ?","option_a":"La limite n'existe pas","option_b":"2","option_c":"0","option_d":"1","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"On factorise le numérateur : x² + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4). Ainsi, f(x) = x + 4 pour x ≠ 1. La limite est donc 1 + 4 = 5. (Erreur dans les options proposées, la bonne réponse devrait être 5.)","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":34174,"question":"La fonction f(x) = x³ - 3x² + 2x est-elle dérivable en x = 1 ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La dérivée de f est f'(x) = 3x² - 6x + 2. En x = 1, f'(1) = 3 - 6 + 2 = -1. La fonction est donc dérivable en x = 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":34175,"question":"Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = e^(2x + 1) ?","option_a":"e^(2x + 1)","option_b":"2e^(2x + 1)","option_c":"(2x + 1)e^(2x)","option_d":"2x e^(2x + 1)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La dérivée de e^u est u' e^u. Ici, u = 2x + 1, donc u' = 2. Ainsi, f'(x) = 2e^(2x + 1).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":34176,"question":"La fonction f(x) = x² - 4x + 3 est-elle continue sur ℝ ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Les fonctions polynômes sont continues sur ℝ. f(x) = x² - 4x + 3 est un polynôme, donc elle est continue sur ℝ.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":34177,"question":"Quelle est la limite de la suite u_n = (n² + 1)\/(2n² - 3) lorsque n tend vers l'infini ?","option_a":"0","option_b":"1\/2","option_c":"1","option_d":"L'infini","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"On divise le numérateur et le dénominateur par n² : u_n = (1 + 1\/n²)\/(2 - 3\/n²). Lorsque n → ∞, u_n → 1\/2.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":34178,"question":"La fonction f(x) = |x - 2| est-elle dérivable en x = 2 ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en x = 2 car elle présente un point anguleux (dérivée à gauche ≠ dérivée à droite).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":34179,"question":"Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = ln(3x + 2) ?","option_a":"3\/(3x + 2)","option_b":"1\/(3x + 2)","option_c":"(3x + 2)\/3","option_d":"3 ln(3x + 2)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La dérivée de ln(u) est u'\/u. Ici, u = 3x + 2, donc u' = 3. Ainsi, f'(x) = 3\/(3x + 2).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":34180,"question":"La fonction f(x) = x³ + x satisfait-elle le théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle [-1, 1] ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La fonction f est continue sur [-1, 1] et f(-1) = -2, f(1) = 2. Pour tout k ∈ [-2, 2], il existe c ∈ [-1, 1] tel que f(c) = k. Le théorème s'applique donc.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":34181,"question":"Quelle est la limite de la fonction f(x) = (sin x)\/x lorsque x tend vers 0 ?","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"L'infini","option_d":"La limite n'existe pas","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"C'est une limite classique : lim(x→0) (sin x)\/x = 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":34182,"question":"La fonction f(x) = x^4 - 4x² + 3 admet-elle un extremum local en x = 1 ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La dérivée f'(x) = 4x³ - 8x s'annule en x = 1. La dérivée seconde f''(x) = 12x² - 8 est positive en x = 1 (f''(1) = 4 \u003E 0), donc f admet un minimum local en x = 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]