Testez vos connaissances sur les inégalités de convexité !

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":75862,"question":"Soit f une fonction convexe sur un intervalle I. Pour tous a, b ∈ I et λ ∈ [0,1], quelle inégalité est vérifiée ?","option_a":"f(λa + (1-λ)b) ≤ λf(a) + (1-λ)f(b)","option_b":"f(λa + (1-λ)b) ≥ λf(a) + (1-λ)f(b)","option_c":"f(λa + (1-λ)b) = λf(a) + (1-λ)f(b)","option_d":"f(λa + (1-λ)b) ≤ f(a) + f(b)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"L'inégalité de convexité de Jensen stipule que pour une fonction convexe f, f(λa + (1-λ)b) ≤ λf(a) + (1-λ)f(b).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":75863,"question":"L'inégalité arithmético-géométrique (AM-GM) est un cas particulier de l'inégalité de Jensen.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"L'inégalité AM-GM est effectivement un cas particulier de l'inégalité de Jensen appliquée à la fonction logarithme, qui est concave.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":75864,"question":"Soit f(x) = x², une fonction convexe sur ℝ. Quelle est l'inégalité vérifiée pour tous x, y ∈ ℝ ?","option_a":"(x + y)² ≤ 2(x² + y²)","option_b":"(x + y)² ≥ 2(x² + y²)","option_c":"(x + y)² = x² + y²","option_d":"(x + y)² ≤ x² + y²","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"En appliquant l'inégalité de convexité à f(x) = x², on obtient (x + y)²\/4 ≤ (x² + y²)\/2, soit (x + y)² ≤ 2(x² + y²).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":75865,"question":"La fonction f(x) = -ln(x) est convexe sur ]0, +∞[.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La dérivée seconde de f(x) = -ln(x) est f''(x) = 1\/x² \u003E 0 sur ]0, +∞[, donc f est convexe.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":75866,"question":"Soit f une fonction convexe sur ℝ. Que peut-on dire de sa dérivée première ?","option_a":"Elle est croissante","option_b":"Elle est décroissante","option_c":"Elle est constante","option_d":"Elle est périodique","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Pour une fonction convexe deux fois dérivable, sa dérivée première est croissante car sa dérivée seconde (f'') est positive.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":75867,"question":"L'inégalité de Jensen s'applique-t-elle aux fonctions concaves ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"L'inégalité de Jensen pour une fonction concave f s'écrit f(λa + (1-λ)b) ≥ λf(a) + (1-λ)f(b).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":75868,"question":"Soit f(x) = e^x, une fonction convexe sur ℝ. Quelle inégalité est vérifiée pour tous x, y ∈ ℝ ?","option_a":"e^(x+y)\/2 ≤ (e^x + e^y)\/2","option_b":"e^(x+y) ≤ e^x + e^y","option_c":"e^(x+y) ≥ (e^x + e^y)\/2","option_d":"e^(x+y) ≤ 2(e^x + e^y)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"En appliquant l'inégalité de convexité à f(x) = e^x, on obtient e^((x+y)\/2) ≤ (e^x + e^y)\/2, soit e^(x+y) ≤ (e^x + e^y)²\/4. L'option correcte est une reformulation.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":75869,"question":"La fonction f(x) = x³ est convexe sur ℝ.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La dérivée seconde de f(x) = x³ est f''(x) = 6x, qui n'est pas toujours positive (ex: x \u003C 0). Donc f n'est pas convexe sur ℝ.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":75870,"question":"Soit f une fonction convexe sur un intervalle I. Si a ≤ b ≤ c dans I, quelle inégalité est vérifiée ?","option_a":"f(b) ≤ (f(a) + f(c))\/2","option_b":"f(b) ≥ (f(a) + f(c))\/2","option_c":"f(b) ≤ f(a) + f(c)","option_d":"f(b) ≥ f(a) + f(c)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"En appliquant l'inégalité de convexité avec λ = (b-a)\/(c-a), on obtient f(b) ≤ (c-b)f(a)\/(c-a) + (b-a)f(c)\/(c-a), soit f(b) ≤ (f(a)(c-b) + f(c)(b-a))\/(c-a).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":75871,"question":"L'inégalité de convexité permet de démontrer que la moyenne arithmétique est toujours supérieure ou égale à la moyenne géométrique.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"L'inégalité AM-GM est un cas particulier de l'inégalité de Jensen appliquée à la fonction logarithme (concave), donc c'est vrai.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]