Quiz : Maîtrisez les fonctions convexes en Terminale Sciences

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":53081,"question":"Parmi les fonctions suivantes, laquelle est convexe sur ℝ ?","option_a":"f(x) = x²","option_b":"f(x) = -x²","option_c":"f(x) = sin(x)","option_d":"f(x) = ln(x)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La fonction f(x) = x² est convexe sur ℝ car sa dérivée seconde f''(x) = 2 est toujours positive.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53082,"question":"Si une fonction f est deux fois dérivable et que f''(x) \u003E 0 pour tout x ∈ I, alors :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"C'est vrai : une dérivée seconde positive sur un intervalle implique que la fonction est convexe sur cet intervalle.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53083,"question":"L'inégalité de Jensen s'applique aux fonctions :","option_a":"Convexes uniquement","option_b":"Concaves uniquement","option_c":"Convexes ou concaves","option_d":"Ni convexes ni concaves","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"L'inégalité de Jensen s'applique aux fonctions convexes ou concaves, selon l'inégalité considérée.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53084,"question":"Soit f une fonction convexe sur ℝ. Parmi les affirmations suivantes, laquelle est toujours vraie ?","option_a":"f est croissante sur ℝ","option_b":"f est décroissante sur ℝ","option_c":"f a un minimum global","option_d":"f a un maximum global","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Une fonction convexe sur ℝ n'est pas nécessairement monotone, mais elle admet un minimum global si elle est minorée.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53085,"question":"Un point d'inflexion correspond à un changement de :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai : un point d'inflexion est un point où la fonction change de convexité (de convexe à concave ou inversement).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53086,"question":"La fonction exponentielle est :","option_a":"Convexe sur ℝ","option_b":"Concave sur ℝ","option_c":"Ni convexe ni concave","option_d":"Convexe puis concave","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La fonction exponentielle est convexe sur ℝ car sa dérivée seconde (e^x) est toujours positive.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53087,"question":"Soit f une fonction convexe sur un intervalle I. Pour tous a, b ∈ I et λ ∈ [0, 1], on a :","option_a":"f(λa + (1-λ)b) ≤ λf(a) + (1-λ)f(b)","option_b":"f(λa + (1-λ)b) ≥ λf(a) + (1-λ)f(b)","option_c":"f(λa + (1-λ)b) = λf(a) + (1-λ)f(b)","option_d":"Aucune des réponses précédentes","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Pour une fonction convexe, l'inégalité de convexité s'écrit f(λa + (1-λ)b) ≤ λf(a) + (1-λ)f(b).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53088,"question":"La dérivée seconde d'une fonction convexe est toujours :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai : si une fonction est deux fois dérivable et convexe, alors sa dérivée seconde est positive.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53089,"question":"Parmi les fonctions suivantes, laquelle est concave sur ℝ ?","option_a":"f(x) = x³","option_b":"f(x) = -x²","option_c":"f(x) = e^x","option_d":"f(x) = x","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La fonction f(x) = -x² est concave sur ℝ car sa dérivée seconde f''(x) = -2 est toujours négative.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53090,"question":"Si f est une fonction convexe sur ℝ, alors sa courbe représentative :","option_a":"Est toujours au-dessus de ses tangentes","option_b":"Est toujours en dessous de ses tangentes","option_c":"Passe par tous ses points d'inflexion","option_d":"A une asymptote horizontale","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Une fonction convexe est toujours située au-dessus de ses tangentes, ce qui est une propriété caractéristique.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]