Quiz : Maîtrisez les ensembles dénombrables en CPGE

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":46981,"question":"Quel ensemble parmi les suivants est dénombrable ?","option_a":"L'ensemble des nombres réels ℝ","option_b":"L'ensemble des entiers naturels ℕ","option_c":"L'ensemble des nombres irrationnels","option_d":"L'ensemble des parties de ℕ","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"L'ensemble des entiers naturels ℕ est dénombrable par définition, car il est en bijection avec lui-même. Les autres ensembles cités sont soit non dénombrables (ℝ, nombres irrationnels), soit de cardinalité supérieure (parties de ℕ).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":46982,"question":"Un ensemble infini est toujours dénombrable.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Faux. Par exemple, l'ensemble des nombres réels ℝ est infini mais non dénombrable (théorème de Cantor). Seuls les ensembles infinis qui peuvent être mis en bijection avec ℕ sont dénombrables.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":46983,"question":"La fonction f: ℕ → ℤ définie par f(n) = n\/2 si n est pair et f(n) = -(n+1)\/2 si n est impair est :","option_a":"Injective mais pas surjective","option_b":"Surjective mais pas injective","option_c":"Bijective","option_d":"Ni injective ni surjective","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Cette fonction est bijective : elle établit une correspondance parfaite entre ℕ et ℤ, prouvant que ℤ est dénombrable. Elle est à la fois injective (chaque élément de ℕ a une image unique dans ℤ) et surjective (tout élément de ℤ a un antécédent dans ℕ).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":46984,"question":"L'ensemble des nombres rationnels ℚ est-il dénombrable ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. On peut construire une bijection entre ℚ et ℕ en utilisant une méthode de numérotation diagonale (théorème de Cantor), prouvant ainsi que ℚ est dénombrable malgré son apparente densité.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":46985,"question":"Soit A un ensemble dénombrable. Lequel des ensembles suivants est nécessairement dénombrable ?","option_a":"L'ensemble des parties de A","option_b":"L'ensemble des suites à valeurs dans A","option_c":"L'ensemble des sous-ensembles finis de A","option_d":"L'ensemble A × A","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"L'ensemble des sous-ensembles finis de A est dénombrable car on peut énumérer ses éléments en utilisant une bijection avec ℕ (via les combinaisons finies). Les autres ensembles cités ont des cardinaux strictement supérieurs à celui de A.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":46986,"question":"La réunion de deux ensembles dénombrables est toujours dénombrable.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. Si A et B sont dénombrables, on peut construire une bijection entre A ∪ B et ℕ en utilisant une méthode de numérotation alternée (par exemple, en alternant les éléments de A et B).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":46987,"question":"Quel théorème permet de prouver que deux ensembles ont le même cardinal ?","option_a":"Théorème de Pythagore","option_b":"Théorème de Cantor-Bernstein","option_c":"Théorème des valeurs intermédiaires","option_d":"Théorème de Bolzano-Weierstrass","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Le théorème de Cantor-Bernstein (ou théorème de Cantor-Schröder-Bernstein) stipule que si deux ensembles A et B sont tels qu'il existe une injection de A dans B et une injection de B dans A, alors A et B ont le même cardinal. C'est un outil puissant pour comparer les tailles d'ensembles.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":46988,"question":"L'ensemble des fonctions de ℕ dans {0,1} est-il dénombrable ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Faux. Cet ensemble est en bijection avec l'ensemble des parties de ℕ (via les fonctions indicatrices), qui a le même cardinal que ℝ et est donc non dénombrable (théorème de Cantor).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":46989,"question":"Soit A un ensemble dénombrable. Le produit cartésien A × A est-il dénombrable ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. Si A est dénombrable, on peut construire une bijection entre A × A et ℕ en utilisant une numérotation diagonale (méthode similaire à celle utilisée pour ℚ). Ainsi, A × A reste dénombrable.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":46990,"question":"Parmi les ensembles suivants, lequel n'est PAS dénombrable ?","option_a":"L'ensemble des nombres algébriques","option_b":"L'ensemble des nombres transcendants","option_c":"L'ensemble des suites bornées à valeurs dans ℕ","option_d":"L'ensemble des parties de ℕ","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"D","explication":"L'ensemble des parties de ℕ n'est pas dénombrable (théorème de Cantor), car son cardinal est strictement supérieur à celui de ℕ. Les autres ensembles cités sont tous dénombrables.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]