Échanges limites et intégrales : Testez vos connaissances !

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":58456,"question":"Soit une suite de fonctions (fn) convergeant simplement vers f sur [a,b]. Sous quelle condition peut-on écrire lim ∫fn = ∫lim fn ?","option_a":"Si fn est bornée","option_b":"Si fn est dominée par une fonction intégrable","option_c":"Si fn est croissante","option_d":"Si fn est décroissante","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Le théorème de convergence dominée (ou théorème de Lebesgue) permet cet échange sous la condition de domination par une fonction intégrable.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":58457,"question":"La suite fn(x) = x^n converge uniformément sur [0,1] vers f(x) = 0.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La convergence n'est pas uniforme sur [0,1] car fn(1) = 1 pour tout n, alors que f(1) = 0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":58458,"question":"Quel théorème permet d'échanger limite et intégrale pour une série de fonctions ?","option_a":"Théorème de Fubini","option_b":"Théorème de Weierstrass","option_c":"Théorème de convergence dominée","option_d":"Théorème de Cauchy","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Le théorème de convergence dominée généralise cet échange pour les séries de fonctions.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":58459,"question":"Soit fn(x) = n\/(1+nx) sur [0,1]. La limite simple de fn est :","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"x","option_d":"1\/x","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Pour x \u003E 0, fn(x) = 1\/(1\/n + x) → 0 quand n → ∞. En x=0, fn(0)=1, mais la limite simple est 0 presque partout.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":58460,"question":"L'intégrale ∫[0,∞] e^(-nx) dx converge pour tout n \u003E 0.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"L'intégrale vaut 1\/n, qui est finie pour tout n \u003E 0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":58461,"question":"Quel est le résultat de lim(n→∞) ∫[0,1] n x^n dx ?","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"1\/2","option_d":"∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Par intégration par parties ou changement de variable, on trouve que l'intégrale vaut n\/(n+1) → 1, mais l'échange limite\/intégrale donne 0 (car fn(x)=n x^n → 0 simplement). La bonne valeur est 1\/2 par calcul direct.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":58462,"question":"Soit fn(x) = x^n(1-x) sur [0,1]. La suite (fn) converge uniformément vers 0.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La convergence n'est pas uniforme car le maximum de fn est atteint en x=n\/(n+1) et vaut (n\/(n+1))^n (1\/(n+1)) → 0, mais la convergence n'est pas uniforme (ex : fn(1-1\/n) = (1-1\/n)^n (1\/n) → 1\/e * 0 = 0, mais la vitesse de convergence varie).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":58463,"question":"Le théorème de convergence dominée s'applique à une suite de fonctions (fn) si :","option_a":"fn est croissante","option_b":"fn est bornée","option_c":"Il existe g intégrable telle que |fn| ≤ g","option_d":"fn est continue","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"La condition de domination par une fonction intégrable est essentielle pour appliquer le théorème.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":58464,"question":"Soit fn(x) = sin(nx)\/n sur ℝ. La limite simple de fn est :","option_a":"0","option_b":"sin(x)","option_c":"1","option_d":"x","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Pour tout x, |sin(nx)\/n| ≤ 1\/n → 0 quand n → ∞.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":58465,"question":"L'échange limite\/intégrale est toujours possible sans condition.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Des contre-exemples existent (ex : fn(x) = n x^n sur [0,1]). Des conditions comme la domination ou la convergence uniforme sont nécessaires.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]