Quiz Maths MP : Maîtrisez les fondamentaux des concours E3A

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":56701,"question":"Soit une matrice A ∈ Mₙ(ℝ) diagonalisable. Parmi ces propriétés, laquelle est toujours vraie ?","option_a":"A est inversible","option_b":"Le polynôme caractéristique de A est scindé à racines simples","option_c":"A est semblable à une matrice triangulaire supérieure","option_d":"Toutes les valeurs propres de A sont réelles","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Une matrice diagonalisable est toujours semblable à une matrice diagonale (donc triangulaire), mais elle n’est pas nécessairement inversible ni à valeurs propres réelles (exemple : rotation dans ℝ²).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":56702,"question":"La série ∑(n=1 à +∞) 1\/n² converge.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La série de Riemann ∑1\/n^α converge si et seulement si α \u003E 1. Ici, α=2 \u003E 1, donc la série converge (série de Basel).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":56703,"question":"Soit f une fonction de classe C¹ sur [0,1]. Si f(0)=f(1)=0, alors ∫₀¹ f'(x)² dx ≥ π² ∫₀¹ f(x)² dx.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"C’est l’inégalité de Wirtinger, valable pour les fonctions nulles en 0 et 1, avec une constante optimale π².","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":56704,"question":"Résoudre l’équation différentielle y'' + 4y = cos(2x). Quelle est la forme générale de la solution ?","option_a":"y(x) = A cos(2x) + B sin(2x) + (x\/4) sin(2x)","option_b":"y(x) = A cos(2x) + B sin(2x) + (1\/8) x sin(2x)","option_c":"y(x) = A cos(2x) + B sin(2x) + (1\/4) x cos(2x)","option_d":"y(x) = A cos(2x) + B sin(2x) + (1\/2) x sin(2x)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La solution générale de l’équation homogène est y_h = A cos(2x) + B sin(2x). Pour le second membre cos(2x), on cherche une solution particulière de la forme x(C cos(2x) + D sin(2x)). Le calcul donne C=0 et D=1\/8.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":56705,"question":"Soit E un espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Si u est diagonalisable, alors u² est diagonalisable.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Si u est diagonalisable, il existe une base de vecteurs propres. Dans cette base, u² est représenté par une matrice diagonale, donc u² est diagonalisable.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":56706,"question":"Calculer lim (x→0) (sin(x) - x + x³\/6)\/x⁵.","option_a":"-1\/120","option_b":"1\/120","option_c":"0","option_d":"+∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"En utilisant le développement limité de sin(x) = x - x³\/6 + x⁵\/120 + o(x⁵), on obtient (sin(x)-x+x³\/6)\/x⁵ ≈ 1\/120 + o(1), donc la limite est 1\/120. Attention à l’ordre du développement !","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":56707,"question":"Soit A une matrice antisymétrique (Aᵀ = -A). Parmi ces affirmations, laquelle est fausse ?","option_a":"Les valeurs propres de A sont toutes imaginaires pures","option_b":"det(A) = 0 si n est impair","option_c":"A est diagonalisable dans ℂ","option_d":"A est inversible si et seulement si 0 n’est pas valeur propre","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Une matrice antisymétrique n’est pas nécessairement diagonalisable (exemple : matrice nilpotente antisymétrique). Les autres propriétés sont vraies.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":56708,"question":"Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ \u003E 0. Que vaut E[X²] ?","option_a":"1\/λ²","option_b":"2\/λ²","option_c":"λ²","option_d":"1\/λ","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Pour X ~ 𝓔(λ), E[X] = 1\/λ et Var(X) = 1\/λ². Comme Var(X) = E[X²] - (E[X])², on a E[X²] = Var(X) + (E[X])² = 2\/λ².","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":56709,"question":"Soit f une fonction convexe sur ℝ. Alors f est continue sur ℝ.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Une fonction convexe sur ℝ est continue sur l’intérieur de son domaine (ici ℝ), mais pas nécessairement aux bornes si le domaine est borné. Cependant, sur ℝ, elle est bien continue partout.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":56710,"question":"Soit A ∈ Mₙ(ℝ) une matrice symétrique définie positive. Parmi ces propriétés, laquelle est incorrecte ?","option_a":"Toutes les valeurs propres de A sont strictement positives","option_b":"A est inversible","option_c":"Le déterminant de A est positif","option_d":"A est diagonalisable dans ℝ mais pas dans ℂ","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"D","explication":"Une matrice symétrique définie positive est diagonalisable dans ℝ (théorème spectral), mais elle est aussi diagonalisable dans ℂ (toute matrice est diagonalisable dans ℂ). Les autres propriétés sont correctes.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]