Maîtrisez les séries en Terminale : Convergence et applications

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":24818,"question":"Quelle série parmi les suivantes est convergente ?","option_a":"A. Σ (1\/n) pour n de 1 à ∞","option_b":"B. Σ (1\/n²) pour n de 1 à ∞","option_c":"C. Σ (n) pour n de 1 à ∞","option_d":"D. Σ (-1)^n pour n de 1 à ∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La série Σ (1\/n²) est une série de Riemann convergente (p = 2 \u003E 1). La série harmonique Σ (1\/n) diverge, tout comme Σ (n) et Σ (-1)^n.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":24819,"question":"Le critère de Cauchy (ou critère de la racine) permet de conclure que la série Σ (1\/2^n) est convergente.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. La limite de la racine n-ième de (1\/2^n) est 1\/2 \u003C 1, donc la série converge d'après le critère de Cauchy.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":24820,"question":"Quelle est la nature de la série Σ (n! \/ n^n) pour n de 1 à ∞ ?","option_a":"A. Convergente","option_b":"B. Divergente","option_c":"C. Indéterminée","option_d":"D. Convergente seulement si n est pair","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La série converge d'après le critère de d'Alembert : lim (u_{n+1}\/u_n) = lim ((n+1)! \/ (n+1)^{n+1}) * (n^n \/ n!) = lim (n^n \/ (n+1)^n) * (1\/(n+1)) = 0 \u003C 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":24821,"question":"La série Σ (1\/n^p) converge si et seulement si :","option_a":"A. p \u003E 0","option_b":"B. p ≥ 1","option_c":"C. p \u003E 1","option_d":"D. p = 1","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"La série de Riemann Σ (1\/n^p) converge si et seulement si p \u003E 1. Pour p = 1, c'est la série harmonique divergente.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":24822,"question":"Le critère de comparaison directe peut être utilisé pour montrer que la série Σ (1\/(n² + 1)) converge.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. On compare avec la série de Riemann convergente Σ (1\/n²) car 1\/(n² + 1) ≤ 1\/n² pour tout n ≥ 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":24823,"question":"Quelle est la somme de la série géométrique Σ (1\/3)^n pour n de 0 à ∞ ?","option_a":"A. 1","option_b":"B. 3\/2","option_c":"C. 2\/3","option_d":"D. 1\/2","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La somme d'une série géométrique Σ r^n (|r| \u003C 1) est 1\/(1 - r). Ici, r = 1\/3, donc la somme est 1\/(1 - 1\/3) = 3\/2.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":24824,"question":"La série Σ (-1)^n \/ n est convergente mais pas absolument convergente.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. C'est une série alternée convergente (critère des séries alternées), mais la série des valeurs absolues Σ (1\/n) diverge (série harmonique).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":24825,"question":"Quel critère permet de conclure que la série Σ (n \/ 2^n) converge ?","option_a":"A. Critère de d'Alembert","option_b":"B. Critère de Cauchy","option_c":"C. Critère de comparaison","option_d":"D. Critère de l'intégrale","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le critère de d'Alembert est adapté ici : lim (u_{n+1}\/u_n) = lim ((n+1)\/2^{n+1}) * (2^n \/ n) = lim (1\/2) * (1 + 1\/n) = 1\/2 \u003C 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":24826,"question":"La série Σ (1 \/ (n(n+1))) est convergente et sa somme vaut :","option_a":"A. 1","option_b":"B. 0","option_c":"C. 2","option_d":"D. 1\/2","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La série télescopique Σ (1\/(n(n+1))) = Σ (1\/n - 1\/(n+1)) converge vers 1. La somme partielle S_n = 1 - 1\/(n+1) tend vers 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":24827,"question":"Le critère de l'intégrale peut être appliqué à toute série positive décroissante.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. Le critère de l'intégrale stipule que si f est une fonction positive décroissante sur [1, ∞[, alors la série Σ f(n) et l'intégrale ∫ f(x) dx ont la même nature.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]