Quiz — Mines-Ponts PSI 2017 (Sujet).doc

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":192501,"question":"Soit A une matrice carrée de taille n. Si A est diagonalisable, alors :","option_a":"A est inversible","option_b":"Le polynôme caractéristique de A est scindé à racines simples","option_c":"A est symétrique","option_d":"A est nilpotente","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Une matrice diagonalisable a un polynôme caractéristique scindé à racines simples (ou multiples) et une base de vecteurs propres. Les autres propositions ne sont pas nécessairement vraies.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"A est inversible\", \"b\": \"Le polynôme caractéristique de A est s","_debug_options_count":4},{"id":192502,"question":"La série de terme général 1\/n^2 converge.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La série de Riemann de terme général 1\/n^α converge si et seulement si α \u003E 1. Ici, α = 2 \u003E 1, donc la série converge.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":192503,"question":"Soit f une fonction continue sur [a, b]. Alors :","option_a":"f est dérivable sur [a, b]","option_b":"f admet un maximum et un minimum sur [a, b]","option_c":"f est constante sur [a, b]","option_d":"f n'est pas bornée sur [a, b]","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"D'après le théorème des bornes atteintes, une fonction continue sur un segment [a, b] est bornée et atteint ses bornes (maximum et minimum).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"f est dérivable sur [a, b]\", \"b\": \"f admet un maximum et un mini","_debug_options_count":4},{"id":192504,"question":"Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. Alors P(X ≤ 0) = :","option_a":"0","option_b":"0.5","option_c":"1","option_d":"0.25","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La loi normale centrée réduite est symétrique par rapport à 0. Ainsi, P(X ≤ 0) = 0.5.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"0\", \"b\": \"0.5\", \"c\": \"1\", \"d\": \"0.25\"}}","_debug_options_count":4},{"id":192505,"question":"Soit (u_n) une suite définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = 2u_n + 1. Alors u_n = :","option_a":"2^n - 1","option_b":"2^n + 1","option_c":"n^2 + 1","option_d":"2^{n+1} - 1","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"En résolvant la relation de récurrence, on trouve u_n = 2^n - 1. On peut vérifier pour n = 0 : u_0 = 2^0 - 1 = 0 (incorrect, donc la bonne réponse est 2^{n+1} - 1). Correction : u_n = 2^{n+1} - 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"2^n - 1\", \"b\": \"2^n + 1\", \"c\": \"n^2 + 1\", \"d\": \"2^{n+1} - 1\"}}","_debug_options_count":4},{"id":192506,"question":"Soit f une fonction deux fois dérivable sur R. Si f''(x) \u003E 0 pour tout x, alors f est convexe.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Une fonction deux fois dérivable est convexe si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur l'intervalle considéré. Ici, f''(x) \u003E 0 pour tout x, donc f est convexe.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":192507,"question":"Soit A une matrice orthogonale. Alors :","option_a":"A est symétrique","option_b":"A est inversible et A^{-1} = A^T","option_c":"Le déterminant de A est égal à 0","option_d":"A est nilpotente","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Une matrice orthogonale vérifie A^T A = I, donc A est inversible et A^{-1} = A^T. Les autres propositions ne sont pas nécessairement vraies.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"A est symétrique\", \"b\": \"A est inversible et A^{-1} = A^T\", \"c\":","_debug_options_count":4},{"id":192508,"question":"Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ. Alors E(X) = :","option_a":"λ","option_b":"1\/λ","option_c":"λ^2","option_d":"0","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ est E(X) = 1\/λ.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"λ\", \"b\": \"1\/λ\", \"c\": \"λ^2\", \"d\": \"0\"}}","_debug_options_count":4},{"id":192509,"question":"Soit f une fonction dérivable sur R. Si f'(x) = 0 pour tout x, alors f est constante.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Si la dérivée d'une fonction est nulle sur un intervalle, alors la fonction est constante sur cet intervalle (théorème des accroissements finis).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":192510,"question":"Soit A une matrice carrée de taille n. Si A est inversible, alors :","option_a":"Le noyau de A est réduit à {0}","option_b":"A est symétrique","option_c":"Le déterminant de A est égal à 0","option_d":"A est nilpotente","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Une matrice est inversible si et seulement si son noyau est réduit à {0} (ou si son déterminant est non nul). Les autres propositions ne sont pas nécessairement vraies.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Le noyau de A est réduit à {0}\", \"b\": \"A est symétrique\", \"c\":","_debug_options_count":4}]