Quiz — Exercice2 - Orthogonalié et colinéarité d'un nombre complexe.pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":30610,"question":"Soient z₁ = 1 + i et z₂ = 1 - i. Que peut-on dire de ces deux nombres complexes ?","option_a":"Ils sont orthogonaux","option_b":"Ils sont colinéaires","option_c":"Ils sont égaux","option_d":"Ils sont conjugués","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Le produit z₁ × z₂ = (1+i)(1-i) = 1 - i² = 1 - (-1) = 2, qui est un nombre réel. Cependant, pour l'orthogonalité, le produit doit être un imaginaire pur. Ici, z₁ et z₂ sont conjugués, donc leur produit est réel. Ils ne sont ni orthogonaux ni colinéaires.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Ils sont orthogonaux\", \"b\": \"Ils sont colinéaires\", \"c\": \"Ils so","_debug_options_count":4},{"id":30611,"question":"Deux nombres complexes z₁ et z₂ sont colinéaires si et seulement si :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La condition exacte est que z₁\/z₂ soit un nombre réel (ou que l'un soit un multiple réel de l'autre). La colinéarité n'est pas liée à l'égalité des modules ou à la conjugaison.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":30612,"question":"Soit z₁ = 2 + 2i√3 et z₂ = -1 - i√3. Que peut-on affirmer ?","option_a":"z₁ et z₂ sont orthogonaux","option_b":"z₁ et z₂ sont colinéaires","option_c":"z₁ = 2z₂","option_d":"Le module de z₁ est égal à celui de z₂","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"On observe que z₁ = -2 × z₂, donc z₁ est un multiple réel de z₂. Ils sont donc colinéaires.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"z₁ et z₂ sont orthogonaux\", \"b\": \"z₁ et z₂ sont colinéai","_debug_options_count":4},{"id":30613,"question":"Si z₁ = 3e^(iπ\/4) et z₂ = 2e^(i3π\/4), alors z₁ et z₂ sont :","option_a":"Orthogonaux","option_b":"Colinéaires","option_c":"De même module","option_d":"Conjugués","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Les arguments de z₁ et z₂ diffèrent de π\/2 (π\/4 et 3π\/4), donc leurs vecteurs sont perpendiculaires : ils sont orthogonaux.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Orthogonaux\", \"b\": \"Colinéaires\", \"c\": \"De même module\", \"d\": \"","_debug_options_count":4},{"id":30614,"question":"Le nombre complexe z = 1 + i√3 a un argument de :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"L'argument de z = 1 + i√3 est π\/3 (60°), car tan(θ) = √3\/1 = √3 ⇒ θ = π\/3.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":30615,"question":"Pour que deux nombres complexes z₁ et z₂ soient orthogonaux, il faut que :","option_a":"Re(z₁ × z₂) = 0","option_b":"Im(z₁ × z₂) = 0","option_c":"z₁ = z₂","option_d":"|z₁| = |z₂|","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"L'orthogonalité se traduit par une partie réelle nulle dans le produit z₁ × z₂ (ou une partie imaginaire nulle pour la colinéarité).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Re(z₁ × z₂) = 0\", \"b\": \"Im(z₁ × z₂) = 0\", \"c\": \"z₁ = ","_debug_options_count":4},{"id":30616,"question":"Soit z₁ = 4 et z₂ = 2i. Que peut-on dire de ces deux nombres complexes ?","option_a":"Ils sont orthogonaux","option_b":"Ils sont colinéaires","option_c":"Leur produit est réel","option_d":"Leur somme est nulle","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Le produit z₁ × z₂ = 4 × 2i = 8i, qui est un imaginaire pur. Donc z₁ et z₂ sont orthogonaux.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Ils sont orthogonaux\", \"b\": \"Ils sont colinéaires\", \"c\": \"Leur p","_debug_options_count":4},{"id":30617,"question":"Deux nombres complexes non nuls sont colinéaires si leurs arguments diffèrent d'un multiple de π.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Deux nombres complexes sont colinéaires si leurs arguments sont égaux ou diffèrent d'un multiple de π, car leurs vecteurs représentatifs sont alignés.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":30618,"question":"Soit z₁ = 1 + i et z₂ = -1 + i. Que peut-on affirmer ?","option_a":"z₁ et z₂ sont orthogonaux","option_b":"z₁ et z₂ sont colinéaires","option_c":"z₁ + z₂ = 0","option_d":"z₁ × z₂ est réel","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"On observe que z₂ = -z₁, donc z₁ et z₂ sont colinéaires (multiples réels l'un de l'autre).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"z₁ et z₂ sont orthogonaux\", \"b\": \"z₁ et z₂ sont colinéai","_debug_options_count":4},{"id":30619,"question":"Si z₁ = 5e^(iπ\/6) et z₂ = 5e^(i7π\/6), alors z₁ et z₂ sont :","option_a":"Orthogonaux","option_b":"Colinéaires","option_c":"De même argument","option_d":"Conjugués","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Les arguments de z₁ et z₂ diffèrent de π (π\/6 et 7π\/6), donc leurs vecteurs sont alignés mais de sens opposés : ils sont colinéaires.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Orthogonaux\", \"b\": \"Colinéaires\", \"c\": \"De même argument\", \"d\":","_debug_options_count":4}]