Quiz — Examen Ratt Analyse numerique 1 2019.pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":19419,"question":"Quelle méthode itérative est la plus rapide pour résoudre une équation non linéaire si la fonction est bien conditionnée ?","option_a":"Méthode de dichotomie","option_b":"Méthode de Newton-Raphson","option_c":"Méthode du point fixe","option_d":"Méthode de la sécante","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La méthode de Newton-Raphson converge quadratiquement (très rapidement) si la dérivée ne s'annule pas et si le point initial est proche de la solution.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Méthode de dichotomie\", \"b\": \"Méthode de Newton-Raphson\", \"c\": ","_debug_options_count":4},{"id":19420,"question":"L'interpolation de Lagrange permet de construire un polynôme passant exactement par tous les points donnés.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Vrai. Le polynôme de Lagrange passe exactement par tous les points d'interpolation, mais peut osciller fortement si le nombre de points est élevé (phénomène de Runge).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":19421,"question":"Quelle formule d'intégration numérique est la plus précise pour approximer ∫ₐᵇ f(x)dx avec un nombre pair de subdivisions ?","option_a":"Méthode des rectangles à gauche","option_b":"Méthode des trapèzes","option_c":"Méthode de Simpson","option_d":"Méthode de Monte Carlo","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"Méthode des rectangles à gauche\", \"b\": \"Méthode des trapèzes\"","_debug_options_count":4},{"id":19422,"question":"Quel est l'ordre de convergence de la méthode de Newton-Raphson pour une racine simple d'une fonction f ∈ C² ?","option_a":"Linéraire (ordre 1)","option_b":"Quadratique (ordre 2)","option_c":"Cubique (ordre 3)","option_d":"Exponentiel","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La convergence est quadratique (ordre 2) car l'erreur à l'itération n+1 est proportionnelle au carré de l'erreur à l'itération n.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Linéraire (ordre 1)\", \"b\": \"Quadratique (ordre 2)\", \"c\": \"Cubiqu","_debug_options_count":4},{"id":19423,"question":"La décomposition LU d'une matrice A permet de résoudre efficacement un système linéaire Ax = b.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Vrai. Une fois la matrice A décomposée en L (triangulaire inférieure) et U (triangulaire supérieure), la résolution se fait par substitution avant et arrière.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":19424,"question":"Quel algorithme est le plus adapté pour résoudre un système linéaire de grande taille et creuse ?","option_a":"Méthode de Gauss","option_b":"Méthode de Jacobi","option_c":"Méthode de décomposition QR","option_d":"Méthode de Cholesky","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Les méthodes itératives comme Jacobi ou Gauss-Seidel sont adaptées aux matrices creuses car elles ne modifient pas la structure de la matrice.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Méthode de Gauss\", \"b\": \"Méthode de Jacobi\", \"c\": \"Méthode de ","_debug_options_count":4},{"id":19425,"question":"L'erreur d'arrondi dans un calcul numérique est toujours négligeable devant l'erreur de troncature.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Faux. L'erreur d'arrondi peut devenir dominante dans les calculs répétitifs ou pour des nombres très petits\/grands, surtout avec des méthodes instables.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":19426,"question":"Quelle condition est nécessaire pour que la méthode du point fixe x = g(x) converge vers une solution ?","option_a":"|g'(x)| \u003C 1 sur l'intervalle","option_b":"|g(x)| \u003C 1","option_c":"g(x) est linéaire","option_d":"f(x) = 0 a une solution unique","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La condition de convergence est |g'(x)| \u003C 1 dans un voisinage de la solution, garantissant que la suite des itérés se rapproche de la solution.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"|g'(x)| \u003C 1 sur l'intervalle\", \"b\": \"|g(x)| \u003C 1\", \"c\": \"g(x) est ","_debug_options_count":4},{"id":19427,"question":"La méthode des trapèzes sous-estime toujours l'intégrale d'une fonction convexe.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Vrai. Pour une fonction convexe, la méthode des trapèzes sous-estime l'intégrale car elle approxime la courbe par des segments de droite au-dessus de la courbe.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":19428,"question":"Quel est l'avantage principal de la méthode de Simpson par rapport à la méthode des trapèzes ?","option_a":"Moins de calculs","option_b":"Précision plus élevée pour les fonctions lisses","option_c":"Stabilité numérique accrue","option_d":"Adapté aux fonctions discontinues","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La méthode de Simpson utilise des paraboles pour approximer la courbe, offrant une précision d'ordre 4 (contre 2 pour les trapèzes) pour les fonctions deux fois dérivables.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Moins de calculs\", \"b\": \"Précision plus élevée pour les foncti","_debug_options_count":4}]