Quiz — 6533ecf2c651e_exercice 5- equation differentielle.pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":30330,"question":"Quelle est la forme générale d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants ?","option_a":"y'' + a·y' + b·y = f(x)","option_b":"y' + a·y = b","option_c":"y'' + a·y² = 0","option_d":"y''' + a·y' = b","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La forme générale est y'' + a·y' + b·y = f(x), où f(x) est une fonction donnée (souvent nulle pour les équations homogènes).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"y'' + a·y' + b·y = f(x)\", \"b\": \"y' + a·y = b\", \"c\": \"y'' + a·","_debug_options_count":4},{"id":30331,"question":"Si l'équation caractéristique associée à y'' + 4y' + 4y = 0 a un discriminant nul, quelle est la forme de la solution générale ?","option_a":"y(x) = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)","option_b":"y(x) = (C₁ + C₂x)e^(rx)","option_c":"y(x) = e^(αx)(C₁cos(βx) + C₂sin(βx))","option_d":"y(x) = C₁e^(αx) + C₂e^(-αx)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Pour un discriminant nul, la solution générale est de la forme y(x) = (C₁ + C₂x)e^(rx), où r est la racine double de l'équation caractéristique.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"y(x) = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)\", \"b\": \"y(x) = (C₁ + C₂x","_debug_options_count":4},{"id":30332,"question":"L'équation y'' - 2y' + 5y = 0 admet des solutions réelles.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"L'équation caractéristique associée est r² - 2r + 5 = 0. Son discriminant est Δ = (-2)² - 4·1·5 = 4 - 20 = -16 \u003C 0. Les solutions sont donc complexes conjuguées.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":30333,"question":"Pour résoudre y'' + 3y' - 4y = 0, quelle est la première étape ?","option_a":"Intégrer directement l'équation","option_b":"Écrire l'équation caractéristique r² + 3r - 4 = 0","option_c":"Trouver une solution particulière","option_d":"Appliquer la méthode de variation des constantes","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La première étape consiste à écrire l'équation caractéristique associée, ici r² + 3r - 4 = 0, puis à la résoudre pour trouver les racines.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Intégrer directement l'équation\", \"b\": \"Écrire l'équation car","_debug_options_count":4},{"id":30334,"question":"Si les racines de l'équation caractéristique sont r₁ = 1 et r₂ = -2, quelle est la solution générale de y'' + y' - 2y = 0 ?","option_a":"y(x) = C₁e^x + C₂e^(-2x)","option_b":"y(x) = C₁e^(x) + C₂e^(2x)","option_c":"y(x) = (C₁ + C₂x)e^x","option_d":"y(x) = C₁cos(x) + C₂sin(x)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La solution générale d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants avec racines réelles distinctes est y(x) = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"y(x) = C₁e^x + C₂e^(-2x)\", \"b\": \"y(x) = C₁e^(x) + C₂e^(2x","_debug_options_count":4},{"id":30335,"question":"L'équation y'' + 2y' + y = 0 admet une solution de la forme y(x) = (C₁ + C₂x)e^(-x).","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"L'équation caractéristique associée est r² + 2r + 1 = 0, soit (r + 1)² = 0. Le discriminant est nul, donc la solution générale est bien y(x) = (C₁ + C₂x)e^(-x).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":30336,"question":"Quelle méthode utiliser pour résoudre une équation différentielle non homogène comme y'' + y = sin(x) ?","option_a":"Méthode de variation des constantes","option_b":"Méthode de résolution directe","option_c":"Méthode des coefficients indéterminés","option_d":"Intégration par parties","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Pour les équations non homogènes avec un second membre de type polynôme, exponentielle ou trigonométrique, la méthode des coefficients indéterminés est la plus adaptée.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"Méthode de variation des constantes\", \"b\": \"Méthode de résolut","_debug_options_count":4},{"id":30337,"question":"Si l'équation caractéristique a pour racines r₁ = 3 + 2i et r₂ = 3 - 2i, quelle est la forme de la solution générale ?","option_a":"y(x) = C₁e^(3x) + C₂e^(-3x)","option_b":"y(x) = e^(3x)(C₁cos(2x) + C₂sin(2x))","option_c":"y(x) = C₁cos(2x) + C₂sin(2x)","option_d":"y(x) = (C₁ + C₂x)e^(3x)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Pour des racines complexes conjuguées α ± iβ, la solution générale est y(x) = e^(αx)(C₁cos(βx) + C₂sin(βx)).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"y(x) = C₁e^(3x) + C₂e^(-3x)\", \"b\": \"y(x) = e^(3x)(C₁cos(2x)","_debug_options_count":4},{"id":30338,"question":"La solution générale de y'' - 6y' + 9y = 0 est y(x) = C₁e^(3x) + C₂e^(3x).","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"L'équation caractéristique est (r - 3)² = 0, donc la solution générale est y(x) = (C₁ + C₂x)e^(3x), et non C₁e^(3x) + C₂e^(3x).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":30339,"question":"Quelle est la solution particulière de y'' + y = x² + 1 ?","option_a":"y_p(x) = Ax² + Bx + C","option_b":"y_p(x) = Ax³ + Bx² + Cx","option_c":"y_p(x) = Ax² + B","option_d":"y_p(x) = A cos(x) + B sin(x)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Pour un second membre polynomial de degré 2, la solution particulière est un polynôme de même degré : y_p(x) = Ax² + Bx + C. Ici, comme il n'y a pas de terme en x dans le second membre, B = 0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"y_p(x) = Ax² + Bx + C\", \"b\": \"y_p(x) = Ax³ + Bx² + Cx\", \"c\": \"","_debug_options_count":4}]