Quiz — 635d27ba27494_exercice 6-(etudes fontions-fonction réciproque).pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":30310,"question":"Soit f une fonction définie par f(x) = 2x + 3. Quelle est sa fonction réciproque f⁻¹ ?","option_a":"f⁻¹(x) = (x - 3)\/2","option_b":"f⁻¹(x) = 2x - 3","option_c":"f⁻¹(x) = (x + 3)\/2","option_d":"f⁻¹(x) = x\/2 - 3","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Pour trouver la réciproque, on résout y = 2x + 3 en x : x = (y - 3)\/2, donc f⁻¹(y) = (y - 3)\/2. On remplace y par x pour obtenir f⁻¹(x).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"f⁻¹(x) = (x - 3)\/2\", \"b\": \"f⁻¹(x) = 2x - 3\", \"c\": \"f⁻¹(x","_debug_options_count":4},{"id":30311,"question":"Une fonction strictement croissante est toujours bijective.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Une fonction strictement croissante est injective, mais pour être bijective, elle doit aussi être surjective, c'est-à-dire que son image doit couvrir tout l'ensemble d'arrivée.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":30312,"question":"Soit f(x) = x² définie sur ℝ. Peut-on définir une fonction réciproque sur ℝ ?","option_a":"Oui, car f est bijective","option_b":"Non, car f n'est pas injective","option_c":"Oui, si on restreint le domaine à ℝ⁺","option_d":"Non, car f n'est pas continue","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La fonction f(x) = x² n'est pas injective sur ℝ (car f(2) = f(-2) = 4), donc elle n'a pas de réciproque définie sur tout ℝ. En revanche, si on restreint le domaine à ℝ⁺, elle devient bijective.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Oui, car f est bijective\", \"b\": \"Non, car f n'est pas injective\",","_debug_options_count":4},{"id":30313,"question":"La fonction f(x) = eˣ est-elle bijective ?","option_a":"Oui, car elle est strictement croissante","option_b":"Non, car elle n'est pas définie sur ℝ","option_c":"Oui, mais seulement sur ℝ⁻","option_d":"Non, car elle n'est pas surjective","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La fonction exponentielle eˣ est strictement croissante et définie sur ℝ, donc elle est injective. De plus, son image est ℝ⁺*, donc elle est aussi surjective sur ℝ⁺*. Elle est donc bijective de ℝ vers ℝ⁺*.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Oui, car elle est strictement croissante\", \"b\": \"Non, car elle n'","_debug_options_count":4},{"id":30314,"question":"Soit f une fonction continue et strictement décroissante sur ℝ. Sa réciproque est-elle continue ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle a une réciproque continue sur l'image de cet intervalle. Ici, f est strictement décroissante et continue sur ℝ, donc sa réciproque est continue sur ℝ.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":30315,"question":"Quelle est la réciproque de la fonction f(x) = ln(x) ?","option_a":"f⁻¹(x) = eˣ","option_b":"f⁻¹(x) = 1\/ln(x)","option_c":"f⁻¹(x) = x²","option_d":"f⁻¹(x) = log₁₀(x)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La fonction logarithme népérien ln(x) est la réciproque de la fonction exponentielle eˣ. Donc, si y = ln(x), alors x = eʸ, donc f⁻¹(y) = eʸ.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"f⁻¹(x) = eˣ\", \"b\": \"f⁻¹(x) = 1\/ln(x)\", \"c\": \"f⁻¹(x) = x","_debug_options_count":4},{"id":30316,"question":"Soit f une fonction définie par f(x) = x³ - x. Peut-on définir une fonction réciproque sur ℝ ?","option_a":"Oui, car f est bijective","option_b":"Non, car f n'est pas injective","option_c":"Oui, si on restreint le domaine à [1, +∞[","option_d":"Non, car f n'est pas continue","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La fonction f(x) = x³ - x n'est pas injective sur ℝ (car f(0) = f(1) = 0), donc elle n'a pas de réciproque définie sur tout ℝ. En revanche, si on restreint le domaine à [1, +∞[, elle devient strictement croissante et donc bijective.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Oui, car f est bijective\", \"b\": \"Non, car f n'est pas injective\",","_debug_options_count":4},{"id":30317,"question":"La fonction f(x) = sin(x) est-elle bijective sur ℝ ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La fonction sinus n'est pas injective sur ℝ (car sin(0) = sin(π) = 0), donc elle n'est pas bijective sur ℝ. Elle le devient si on restreint son domaine à un intervalle où elle est strictement monotone, par exemple [-π\/2, π\/2].","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":30318,"question":"Soit f une fonction définie par f(x) = √x. Quelle est sa fonction réciproque f⁻¹ ?","option_a":"f⁻¹(x) = x²","option_b":"f⁻¹(x) = 1\/√x","option_c":"f⁻¹(x) = x","option_d":"f⁻¹(x) = -√x","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La fonction racine carrée √x est définie sur ℝ⁺ et est bijective de ℝ⁺ vers ℝ⁺. Sa réciproque est la fonction carrée f⁻¹(x) = x², car si y = √x, alors x = y².","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"f⁻¹(x) = x²\", \"b\": \"f⁻¹(x) = 1\/√x\", \"c\": \"f⁻¹(x) = x\"","_debug_options_count":4},{"id":30319,"question":"La réciproque d'une fonction dérivable est-elle toujours dérivable ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La réciproque d'une fonction dérivable n'est pas toujours dérivable. Par exemple, la fonction f(x) = x³ est dérivable sur ℝ, mais sa réciproque f⁻¹(x) = ∛x n'est pas dérivable en 0 (sa dérivée tend vers l'infini).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4}]