Quiz : Maîtrisez les concepts clés des Mines-Ponts 2011 en MP

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":46541,"question":"Soit une matrice carrée A d'ordre 3 telle que A² = 0. Que peut-on dire de ses valeurs propres ?","option_a":"A. Toutes les valeurs propres sont nulles","option_b":"B. A est diagonalisable","option_c":"C. Le polynôme caractéristique est de degré 3","option_d":"D. A est inversible","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Si A² = 0, alors le polynôme minimal de A divise X², donc toutes les valeurs propres sont nulles (car les valeurs propres annulent le polynôme minimal).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":46542,"question":"La série de terme général 1\/(n ln n) converge-t-elle ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La série diverge car c'est une série de Bertrand avec α=1 et β=1, et elle diverge pour α=1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":46543,"question":"Soit f une fonction de classe C² sur ℝ. Si f''(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ, alors f est :","option_a":"A. Strictement convexe","option_b":"B. Convexe","option_c":"C. Concave","option_d":"D. Non définie","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Une fonction de classe C² avec f''(x) ≥ 0 pour tout x est convexe (au sens large).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":46544,"question":"Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. Quelle est la probabilité P(X ≤ 1) ?","option_a":"A. 0.6826","option_b":"B. 0.8413","option_c":"C. 0.9544","option_d":"D. 0.9772","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"P(X ≤ 1) ≈ 0.8413 d'après les tables de la loi normale centrée réduite.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":46545,"question":"Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie. Si u est diagonalisable, alors son polynôme minimal est scindé à racines simples.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Un endomorphisme diagonalisable a un polynôme minimal scindé, mais pas nécessairement à racines simples (exemple : u = 0).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":46546,"question":"Soit (uₙ) une suite définie par uₙ₊₁ = uₙ² - 2 et u₀ = 2. Que vaut u₃ ?","option_a":"A. 2","option_b":"B. 14","option_c":"C. 34","option_d":"D. 194","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Calcul pas à pas : u₁ = 2² - 2 = 2, u₂ = 2² - 2 = 2, u₃ = 2² - 2 = 2 → mais si u₀ = √2, u₁ = 0, u₂ = -2, u₃ = 2. Ici, avec u₀ = 2, uₙ = 2 pour tout n. La bonne réponse est donc 2, mais l'option D est incorrecte. Réponse attendue : A (2).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":46547,"question":"Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Si f(a) = f(b), alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f'(c) = 0.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"C'est le théorème de Rolle : si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b), alors ∃c ∈ ]a,b[ tel que f'(c)=0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":46548,"question":"Soit A une matrice antisymétrique. Que peut-on dire de ses valeurs propres ?","option_a":"A. Toutes réelles","option_b":"B. Toutes imaginaires pures ou nulles","option_c":"C. Toutes positives","option_d":"D. Aucune des réponses","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Les valeurs propres d'une matrice antisymétrique sont soit nulles, soit imaginaires pures (car λ = -λ̄).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":46549,"question":"Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ \u003E 0. Quelle est l'espérance de X ?","option_a":"A. λ","option_b":"B. 1\/λ","option_c":"C. λ²","option_d":"D. 1\/λ²","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"L'espérance d'une loi exponentielle de paramètre λ est E(X) = 1\/λ.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":46550,"question":"Soit f une fonction convexe sur ℝ. Alors pour tout x, y ∈ ℝ et t ∈ [0,1], on a :","option_a":"A. f(tx + (1-t)y) ≤ tf(x) + (1-t)f(y)","option_b":"B. f(tx + (1-t)y) ≥ tf(x) + (1-t)f(y)","option_c":"C. f(tx + (1-t)y) = tf(x) + (1-t)f(y)","option_d":"D. Aucune des réponses","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Par définition, une fonction convexe vérifie f(tx + (1-t)y) ≤ tf(x) + (1-t)f(y) pour t ∈ [0,1].","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]