Variables aléatoires : définitions, calculs et applications — Quiz interactif

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":77572,"question":"Soit X une variable aléatoire discrète prenant les valeurs 1, 2 et 3 avec les probabilités respectives 0.2, 0.5 et 0.3. Quelle est l'espérance de X ?","option_a":"1.8","option_b":"2.1","option_c":"2.3","option_d":"2.5","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"L'espérance se calcule par E(X) = 1×0.2 + 2×0.5 + 3×0.3 = 0.2 + 1 + 0.9 = 2.1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":77573,"question":"La variance d'une variable aléatoire est toujours positive.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La variance est définie comme l'espérance du carré des écarts à la moyenne, donc elle est toujours positive ou nulle.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":77574,"question":"Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n=10 et p=0.4. Quelle est la probabilité P(X=4) ?","option_a":"0.2508","option_b":"0.2007","option_c":"0.1662","option_d":"0.1209","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"P(X=4) = C(10,4) × (0.4)^4 × (0.6)^6 ≈ 0.2508 (calcul avec la formule de la loi binomiale).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":77575,"question":"La fonction de répartition d'une variable aléatoire continue est toujours croissante.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La fonction de répartition est croissante car elle représente la probabilité cumulée jusqu'à une certaine valeur.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":77576,"question":"Soit X une variable aléatoire d'espérance 5 et de variance 4. Quelle est l'espérance de Y = 2X + 3 ?","option_a":"10","option_b":"13","option_c":"15","option_d":"18","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"E(Y) = 2×E(X) + 3 = 2×5 + 3 = 13 (linéarité de l'espérance).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":77577,"question":"Une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite. Quelle est la probabilité P(-1 ≤ X ≤ 1) ?","option_a":"0.3413","option_b":"0.6826","option_c":"0.9544","option_d":"0.9974","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Pour une loi normale centrée réduite, P(-1 ≤ X ≤ 1) ≈ 0.6826 (règle des 68-95-99.7).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":77578,"question":"Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes. Alors E(XY) = E(X) × E(Y).","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Cette égalité est vraie uniquement si X et Y sont indépendantes, ce qui est le cas ici.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":77579,"question":"Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ=3. Quelle est la probabilité P(X=0) ?","option_a":"0.0498","option_b":"0.1991","option_c":"0.2240","option_d":"0.3679","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"P(X=0) = e^(-3) × 3^0 \/ 0! ≈ 0.0498 (formule de la loi de Poisson).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":77580,"question":"La loi normale est une loi de probabilité discrète.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La loi normale est une loi de probabilité continue, car elle est définie sur un intervalle de nombres réels.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":77581,"question":"Soit X une variable aléatoire d'espérance 2 et de variance 1. Quelle est la variance de Z = 3X - 5 ?","option_a":"1","option_b":"3","option_c":"9","option_d":"27","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Var(Z) = 3² × Var(X) = 9 × 1 = 9 (la variance est multipliée par le carré du coefficient).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]