Maîtrisez les suites réelles : Convergence, limites et théorèmes clés

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":29848,"question":"Soit la suite définie par u_n = (-1)^n \/ n. Que peut-on dire de sa convergence ?","option_a":"La suite converge vers 0 car |u_n| tend vers 0.","option_b":"La suite diverge car elle n'est pas monotone.","option_c":"La suite converge vers 1.","option_d":"La suite est bornée mais ne converge pas.","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La suite u_n = (-1)^n \/ n est bornée par [-1, 1] et vérifie |u_n| → 0. Par le théorème des gendarmes, u_n converge vers 0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":29849,"question":"Soit une suite (u_n) croissante et non majorée. Que peut-on affirmer ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Une suite croissante et non majorée diverge vers +∞. C'est une propriété fondamentale des suites monotones.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":29850,"question":"Quelle est la limite de la suite définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = (u_n + 2)\/2 ?","option_a":"La suite diverge vers +∞.","option_b":"La suite converge vers 2.","option_c":"La suite converge vers 1.","option_d":"La limite dépend de u_0.","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Cette suite est définie par une relation de récurrence linéaire. On montre par récurrence qu'elle est décroissante et minorée par 2, donc convergente. La limite L vérifie L = (L + 2)\/2, soit L = 2.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":29851,"question":"Soit deux suites (u_n) et (v_n) telles que u_n ≤ v_n pour tout n. Si u_n → L et v_n → M, que peut-on dire de L et M ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"On ne peut pas conclure directement sur L et M sans hypothèse supplémentaire (ex : convergence des deux suites). Par exemple, u_n = 0 et v_n = (-1)^n divergent, mais u_n ≤ v_n.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":29852,"question":"Soit la suite u_n = n^2 \/ (n^2 + 1). Quelle est sa limite ?","option_a":"La suite diverge vers +∞.","option_b":"La suite converge vers 0.","option_c":"La suite converge vers 1.","option_d":"La suite n'a pas de limite.","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"En divisant numérateur et dénominateur par n^2, on obtient u_n = 1 \/ (1 + 1\/n^2). Quand n → +∞, 1\/n^2 → 0, donc u_n → 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":29853,"question":"Soit une suite (u_n) telle que u_{n+1} - u_n ≥ 0 pour tout n. Que peut-on dire de cette suite ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La suite est croissante car u_{n+1} ≥ u_n pour tout n. C'est la définition d'une suite croissante.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":29854,"question":"Soit la suite définie par u_n = 1 + 1\/2 + 1\/4 + ... + 1\/2^n. Que vaut sa limite ?","option_a":"La suite diverge vers +∞.","option_b":"La suite converge vers 2.","option_c":"La suite converge vers 1.","option_d":"La limite dépend de n.","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Cette suite est une somme partielle d'une série géométrique de raison 1\/2. Sa limite est la somme infinie de la série : S = 1 \/ (1 - 1\/2) = 2.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":29855,"question":"Soit une suite (u_n) convergente vers L. Peut-on affirmer que toute sous-suite de (u_n) converge aussi vers L ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Oui, c'est une propriété fondamentale des suites convergentes : toute sous-suite d'une suite convergente converge vers la même limite.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":29856,"question":"Quelle est la limite de la suite u_n = (3n + 1)\/(2n - 5) ?","option_a":"La suite diverge vers +∞.","option_b":"La suite converge vers 3\/2.","option_c":"La suite converge vers 1.","option_d":"La suite n'a pas de limite.","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"En divisant numérateur et dénominateur par n, on obtient u_n = (3 + 1\/n) \/ (2 - 5\/n). Quand n → +∞, u_n → 3\/2.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":29857,"question":"Soit deux suites adjacentes (u_n) et (v_n). Que peut-on dire de leurs limites ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Deux suites adjacentes convergent vers la même limite. C'est un théorème fondamental de l'analyse des suites.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]