Quiz : Maîtrisez la dérivée vectorielle en 10 questions

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":53281,"question":"Soit une fonction vectorielle **f**(t) = (t², sin(t), e^t). Quelle est sa dérivée **f'**(t) ?","option_a":"(2t, cos(t), e^t)","option_b":"(2t, -cos(t), e^t)","option_c":"(t, cos(t), e^t)","option_d":"(2t, sin(t), e^t)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La dérivée d'une fonction vectorielle s'obtient en dérivant chaque composante indépendamment. Ici, (t²)' = 2t, (sin(t))' = cos(t), et (e^t)' = e^t.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53282,"question":"La dérivée d'un vecteur constant est toujours le vecteur nul.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Un vecteur constant ne varie pas avec le temps, donc sa dérivée est bien le vecteur nul.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53283,"question":"Quelle est la dérivée de **u**(t) × **v**(t), où **u** et **v** sont deux fonctions vectorielles ?","option_a":"**u'**(t) × **v'**(t)","option_b":"**u'**(t) × **v**(t) + **u**(t) × **v'**(t)","option_c":"**u**(t) × **v'**(t) - **u'**(t) × **v**(t)","option_d":"**u**(t) × **v**(t)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La dérivée d'un produit vectoriel suit la règle de Leibniz : (**u** × **v**)' = **u'** × **v** + **u** × **v'**.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53284,"question":"Soit **r**(t) = (cos(t), sin(t), t) la position d'un point mobile. Quelle est sa vitesse à l'instant t = 0 ?","option_a":"(0, 1, 1)","option_b":"(1, 0, 1)","option_c":"(0, 0, 1)","option_d":"(1, 1, 0)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La vitesse est la dérivée de la position : **v**(t) = **r'**(t) = (-sin(t), cos(t), 1). À t = 0, **v**(0) = (0, 1, 1).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53285,"question":"La dérivée d'un produit scalaire de deux fonctions vectorielles **u** et **v** est égale à **u'**·**v** + **u**·**v'**.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"C'est correct : la dérivée d'un produit scalaire suit la règle de Leibniz, similaire à celle d'un produit de fonctions réelles.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53286,"question":"Quelle est la dérivée de la fonction vectorielle **f**(t) = (t³, ln(t), 1\/t) pour t \u003E 0 ?","option_a":"(3t², 1\/t, -1\/t²)","option_b":"(t², 1\/t, -1\/t²)","option_c":"(3t², 1\/t, 1\/t²)","option_d":"(3t², t, -1\/t²)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"En dérivant chaque composante : (t³)' = 3t², (ln(t))' = 1\/t, et (1\/t)' = -1\/t².","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53287,"question":"Soit **f**(t) = (t, t², t³). Que vaut **f'**(1) ?","option_a":"(1, 2, 3)","option_b":"(1, 1, 1)","option_c":"(0, 0, 0)","option_d":"(2, 2, 3)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La dérivée **f'**(t) = (1, 2t, 3t²). À t = 1, **f'**(1) = (1, 2, 3).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53288,"question":"La dérivée d'une fonction vectorielle est toujours un vecteur unitaire.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Faux. La dérivée d'une fonction vectorielle est un vecteur, mais il n'est pas nécessairement unitaire (sa norme dépend des composantes).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53289,"question":"Quelle est la dérivée de **f**(t) = (e^t, t e^t, t² e^t) ?","option_a":"(e^t, e^t + t e^t, 2t e^t + t² e^t)","option_b":"(e^t, t e^t, 2t e^t)","option_c":"(e^t, e^t, t e^t)","option_d":"(e^t, e^t + t, 2t e^t)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"En dérivant chaque composante : (e^t)' = e^t, (t e^t)' = e^t + t e^t (règle du produit), et (t² e^t)' = 2t e^t + t² e^t.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53290,"question":"Soit **f**(t) = (cos(2t), sin(2t), 3t). Que vaut **f''**(t) ?","option_a":"(-4cos(2t), -4sin(2t), 0)","option_b":"(-2cos(2t), -2sin(2t), 0)","option_c":"(-4cos(2t), 4sin(2t), 0)","option_d":"(-2cos(2t), 2sin(2t), 3)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La dérivée première **f'**(t) = (-2sin(2t), 2cos(2t), 3). La dérivée seconde **f''**(t) = (-4cos(2t), -4sin(2t), 0).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]