Quiz : Mathématiques PSI — Algèbre, Analyse et Probabilités

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":69332,"question":"Soit une matrice carrée A d'ordre 3 avec un polynôme caractéristique P(λ) = (λ-2)(λ+1)^2. Quel est le spectre de A ?","option_a":"A. {2, -1}","option_b":"B. {2, -1, -1}","option_c":"C. {2}","option_d":"D. {-1}","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le spectre d'une matrice est l'ensemble de ses valeurs propres. Ici, les valeurs propres sont 2 (simple) et -1 (double). Le spectre est donc {2, -1}.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":69333,"question":"La série ∑(n=1 à +∞) 1\/n^2 converge-t-elle ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La série ∑1\/n^2 est une série de Riemann convergente car l'exposant 2 est strictement supérieur à 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":69334,"question":"Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Si f(a) = f(b), alors :","option_a":"A. f est constante sur [a,b]","option_b":"B. Il existe c ∈ ]a,b[ tel que f'(c) = 0","option_c":"C. f est strictement croissante sur [a,b]","option_d":"D. f est périodique","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"C'est le théorème de Rolle : si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b), alors il existe c ∈ ]a,b[ tel que f'(c)=0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":69335,"question":"Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ \u003E 0. Quelle est l'espérance de X ?","option_a":"A. λ","option_b":"B. 1\/λ","option_c":"C. λ^2","option_d":"D. e^(-λ)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Pour une loi exponentielle de paramètre λ, l'espérance est E(X) = 1\/λ.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":69336,"question":"Soit A une matrice orthogonale. Alors :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Une matrice orthogonale vérifie A^T A = I, donc ses colonnes (et lignes) forment une base orthonormée de R^n.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":69337,"question":"Soit f(x) = ln(x)\/x. Quel est le sens de variation de f sur ]0, +∞[ ?","option_a":"A. Strictement croissante","option_b":"B. Strictement décroissante","option_c":"C. Constante","option_d":"D. Croissante puis décroissante","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"D","explication":"La dérivée de f est f'(x) = (1 - ln(x))\/x^2. f'(x) \u003E 0 si x \u003C e et f'(x) \u003C 0 si x \u003E e, donc f est croissante sur ]0,e[ et décroissante sur ]e,+∞[.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":69338,"question":"Soit (X_n) une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant une loi uniforme sur [0,1]. Quelle est la limite presque sûre de la moyenne empirique (X_1 + ... + X_n)\/n quand n tend vers +∞ ?","option_a":"A. 0","option_b":"B. 1","option_c":"C. 1\/2","option_d":"D. +∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Par la loi des grands nombres, la moyenne empirique converge presque sûrement vers l'espérance de X_1, qui est 1\/2 pour une loi uniforme sur [0,1].","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":69339,"question":"Soit E un espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Si u est diagonalisable, alors :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il existe une base de E formée de vecteurs propres de u.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":69340,"question":"Soit f une fonction deux fois dérivable sur R telle que f''(x) \u003E 0 pour tout x. Alors f est :","option_a":"A. Concave","option_b":"B. Convexe","option_c":"C. Constante","option_d":"D. Périodique","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Si f''(x) \u003E 0 pour tout x, alors f est convexe (sa courbe est située au-dessus de ses tangentes).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":69341,"question":"Soit A une matrice carrée de taille n. Si det(A) = 0, alors :","option_a":"A. A est inversible","option_b":"B. A n'est pas inversible","option_c":"C. A est symétrique","option_d":"D. A est orthogonale","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Si det(A)=0, alors A n'est pas inversible.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]